Angular MapのJacobian導出

3dcg

syoyoさんとのメールのやり取りの中で出てきたので、改めて導出してみる。今まで天下り的に使っていたし、いい機会だ。

d\omega = sin \theta d \theta d \phi
このdwの導出は省くよ。

\left{ \begin{eqnarray}\theta &=& \pi \sqrt{u^2 + v^2} \\ \phi &=& \arctan \frac{v}{u} \end{eqnarray}
注意：u, vの範囲は[-1,1]とする。

ところで、
\begin{eqnarray}d \theta d \phi &=& |\frac {\partial(\theta, \phi)}{\partial(u, v)}| dudv \\&=& \left| \begin{array} \frac{u \pi}{\sqrt{u^2+v^2}} & \frac{v \pi}{\sqrt{u^2+v^2}} \\ \frac{-v}{u^2 + v^2} & \frac{u}{u^2 + v^2} \end{array} \right| dudv \\ &=& \frac{\pi}{\sqrt{u^2+v^2}}dudv \\ &=& \frac{\pi \pi}{\pi \sqrt{u^2+v^2}}dudv \\ &=& \frac{\pi^2}{\theta}dudv \end{eqnarray}

これを先ほどのdwに代入して
\begin{eqnarray}d \omega &=& \pi^2 \frac{sin \theta}{\theta} dudv \\ &=& \pi^2 {\rm sinc} \theta dudv \end{eqnarray}

これでめでたく
d omega = sinc(theta)*(2*pi/width)*(2*pi/width)
が得られるはず。2piの2はuvの範囲が[-1,1]だから。

もう片方の件が検証できたらメールします。